Calculateur de la règle de Simpson

Catégorie : Calcul

- 24 septembre 2025

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Calculez des intégrales définies numériquement en utilisant la règle de Simpson. Ce calculateur approxime l'intégrale d'une fonction sur un intervalle spécifié en ajustant des arcs paraboliques à travers des points équidistants.

Paramètres d'Intégration

Fonction à Intégrer :

Utilisez x comme variable. Fonctions mathématiques : sin, cos, tan, log, sqrt, etc.

Borne Inférieure (a) :

Borne Supérieure (b) :

Nombre d'Intervalles (n) :

Doit être un nombre pair pour la règle de Simpson

Options de Visualisation

Afficher le graphique de la fonction

Afficher les zones d'approximation

Comprendre la Règle de Simpson

La règle de Simpson est une méthode d'approximation numérique pour les intégrales définies. Elle approxime la fonction en utilisant des polynômes quadratiques, ce qui fournit une meilleure précision que des méthodes plus simples comme la règle des trapèzes.

La Formule

\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \end{align}

Où :

h = (b - a) / n est la largeur de chaque sous-intervalle
n est le nombre de sous-intervalles (doit être pair)
x_i = a + i·h sont les points espacés uniformément

Terme d'Erreur

La règle de Simpson a un terme d'erreur de O(h⁵), ce qui signifie que l'erreur est proportionnelle à h⁴. Plus précisément :

\text{Erreur} \approx -\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)

Où f⁽⁴⁾(ξ) est la quatrième dérivée de f à un certain point ξ entre a et b.

Comparaison avec d'Autres Méthodes

Règle du Milieu : L'erreur est O(h³), moins précise que la règle de Simpson
Règle des Trapèzes : L'erreur est O(h³), moins précise que la règle de Simpson
Règle de Simpson 3/8 : Précision similaire à la règle de Simpson
Quadrature de Gauss : Plus précise pour certaines classes de fonctions

Avertissement : Ce calculateur fournit des approximations numériques qui peuvent contenir des erreurs, en particulier pour les fonctions avec des singularités ou des oscillations rapides. Vérifiez toujours les résultats importants avec des méthodes alternatives ou des solutions analytiques lorsque cela est possible.

Qu'est-ce que le Calculateur de la Règle de Simpson ?

Le Calculateur de la Règle de Simpson est un outil interactif qui estime la valeur d'une intégrale définie. Au lieu de résoudre des intégrales complexes à la main, ce calculateur applique une méthode numérique fiable pour approximer l'aire sous une courbe, connue sous le nom de Règle de Simpson. Il est particulièrement utile pour les fonctions qui sont difficiles ou impossibles à intégrer analytiquement.

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \]

Cette méthode divise l'intervalle en un nombre pair de parties et ajuste des paraboles à travers des points sur le graphique de la fonction. Elle offre une meilleure précision que la règle des trapèzes ou la règle du point médian.

Pourquoi l'utiliser ?

Que vous soyez étudiant, enseignant, ingénieur ou apprenant curieux, le Calculateur de la Règle de Simpson vous aide à :

Estimer rapidement des intégrales définies
Visualiser comment l'aire sous la courbe est approximée
Comprendre l'impact du changement du nombre d'intervalles
Effectuer une analyse d'erreur et observer le comportement de convergence

Il complète également d'autres outils comme le Calculateur d'Intégrales pour résoudre des intégrales définies ou indéfinies et le Calculateur d'Antidérivées pour trouver des antidérivées. Si vous travaillez avec des fonctions multivariables, consultez le Calculateur de Dérivées Partielles pour calculer des dérivées partielles ou analyser la différentiation multivariable.

Comment utiliser le calculateur

Suivez ces étapes simples pour obtenir une approximation précise de votre intégrale définie :

Entrez la fonction que vous souhaitez intégrer dans la zone de saisie (utilisez x comme variable).
Définissez les bornes inférieure et supérieure pour l'intervalle d'intégration.
Choisissez le nombre d'intervalles (doit être un nombre pair).
Optionnellement, activez le traçage de la fonction et les visuels d'approximation.
Cliquez sur "Calculer l'Intégrale" pour voir le résultat, le graphique et la décomposition.

Vous pouvez réinitialiser le calculateur à tout moment en utilisant le bouton "Réinitialiser".

Cas d'utilisation courants

Utilisez le Calculateur de la Règle de Simpson pour :

Approximer l'aire sous des courbes lorsque l'intégrale exacte est difficile à calculer
Comparer les résultats numériques avec des solutions exactes d'un solveur d'intégrales
Analyser la convergence en augmentant le nombre d'intervalles
Obtenir des informations sur le comportement des erreurs selon le nombre d'intervalles

Il est particulièrement utile pour vérifier le travail ou compléter les résultats d'outils comme le Calculateur de Deuxième Dérivée ou le Calculateur de Dérivée Directionnelle dans l'analyse multivariable.

FAQs

Q : Quel type de fonctions puis-je entrer ?
Toute fonction utilisant x comme variable. Les expressions courantes incluent des polynômes, des fonctions trigonométriques, des exponentielles et des logarithmes. Par exemple : x^2 + sin(x).

Q : Pourquoi le nombre d'intervalles doit-il être pair ?
La Règle de Simpson repose sur l'ajustement de paraboles à travers des paires d'intervalles. Un nombre impair d'intervalles casserait cette association.

Q : Quelle est la précision de cette méthode ?
La Règle de Simpson est très précise pour les fonctions lisses et s'améliore avec un plus grand nombre d'intervalles. Le calculateur affiche également des informations sur l'erreur et la convergence.

Q : Que faire si ma fonction est indéfinie à un certain point ?
Évitez les fonctions avec des singularités ou des discontinuités dans l'intervalle. Celles-ci peuvent entraîner des résultats inexacts ou des erreurs d'évaluation.

Réflexions finales

Ce calculateur est un compagnon utile pour étudier le calcul et résoudre des problèmes du monde réel impliquant l'intégration. Il fait partie d'une suite plus large d'outils mathématiques comme le Calculateur de Dérivées, le Calculateur d'Antidérivées Inverses et le Calculateur de Limites qui simplifient l'apprentissage et l'application de concepts mathématiques avancés.