Calculateur de Dérivée Directionnelle

Auteur: Henrick Yau
- 5 août 2026
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Calculatrices

Calculez la dérivée directionnelle d'une fonction à un point dans la direction d'un vecteur donné. Entrez une fonction multivariable et spécifiez le point et le vecteur directionnel pour calculer comment la fonction change dans cette direction.

Entrée de la fonction

Point et direction

Options d'affichage

À propos des dérivées directionnelles

La dérivée directionnelle représente le taux de changement d'une fonction dans une direction spécifique. Elle généralise le concept de dérivée partielle, qui ne mesure le changement que le long des axes de coordonnées.

Concepts clés
  • Gradient (∇f) : Un vecteur contenant toutes les dérivées partielles de la fonction, pointant dans la direction de la montée la plus raide.
  • Vecteur unitaire (û) : Une version normalisée du vecteur directionnel avec une magnitude de 1.
  • Formule de la dérivée directionnelle : Duf(x,y) = ∇f(x,y) · û, où · représente le produit scalaire.
  • Interprétation : Mesure à quelle vitesse la fonction change lorsque l'on se déplace d'un point dans la direction spécifiée.
Applications
  • Optimisation : Trouver les directions de plus grande augmentation/diminution.
  • Physique : Calculer les taux de changement dans des directions spécifiques (flux de chaleur, champs électriques).
  • Graphismes informatiques : Analyse et rendu de surfaces.
  • Apprentissage automatique : Algorithmes d'optimisation basés sur le gradient.

Qu'est-ce qu'une Dérivée Directionnelle ?

La dérivée directionnelle mesure comment une fonction change lorsque vous vous déplacez dans une direction spécifique à partir d'un point donné. Elle étend le concept de dérivées partielles en considérant une direction vectorielle plutôt qu'en se concentrant uniquement sur des variables individuelles comme x ou y.

  • En termes simples, elle calcule le taux de changement d'une fonction f(x, y, z) à un point spécifique dans une direction spécifique.
  • Elle est notée mathématiquement comme suit :

D_v f = ∇f ⋅ v̂

Ici : - ∇f est le vecteur gradient de la fonction, qui contient les dérivées partielles par rapport à toutes les variables. - v̂ est le vecteur directionnel normalisé (de longueur unitaire).

  • Le résultat de la dérivée directionnelle est un nombre unique qui nous indique si la fonction augmente, diminue ou reste constante dans la direction donnée.

Fonctionnalités du calculateur de dérivée directionnelle

  • Entrée Dynamique : Entrez n'importe quelle fonction multivariable, un point d'évaluation et un vecteur directionnel.
  • Explication Étape par Étape : Le calculateur fournit des étapes détaillées, montrant comment le gradient et la dérivée directionnelle sont calculés.
  • Visualisation Graphique : Un graphique affiche le comportement de la fonction le long du vecteur directionnel.
  • Exemples Intégrés : Testez rapidement l'outil avec des exemples fournis pour des fonctions courantes.

Utilisation du calculateur de dérivée directionnelle

Champs d'Entrée :

  1. Entrez une Fonction : Spécifiez une fonction multivariable telle que x^2 + y^2 + z^2 ou sin(x) * cos(y).
  2. Point d'Évaluation : Fournissez le point où la dérivée sera évaluée (par exemple, 1,1,1).
  3. Vecteur Directionnel : Entrez le vecteur dans lequel calculer la dérivée (par exemple, 1,2,3).

Menu Déroulant d'Exemples :

  • Sélectionnez un exemple prédéfini pour remplir automatiquement les champs :
  • f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 à (1, 1, 1) dans la direction v = (1, 1, 1).
  • f(x, y) = sin(x) * cos(y) à (0, 0) dans la direction v = (1, 1).
  • f(x, y) = e^(x + y) à (1, 2) dans la direction v = (0, 1).

Boutons de calcul et d'effacement

  • Calculer : Effectuez le calcul et affichez les résultats, les étapes et un graphique.
  • Effacer : Réinitialisez tous les champs d'entrée et les sorties.

Exemple Détaillé : f(x, y) = sin(x) * cos(y)

Exemple d'entrée : fonction, point et vecteur

  • Fonction : sin(x) * cos(y)
  • Point : (0, 0)
  • Vecteur Directionnel : (1, 1)

Étapes de calcul du gradient et de la dérivée

  1. Calculer le vecteur gradient :
  2. ∂f/∂x = cos(x) * cos(y)

  3. ∂f/∂y = -sin(x) * sin(y)

  4. Évaluer à (0, 0) :

  5. ∂f/∂x(0, 0) = 1

  6. ∂f/∂y(0, 0) = 0

  7. Normaliser le vecteur directionnel (1, 1) :

  8. Vecteur unitaire : v̂ = (1/√2, 1/√2)

  9. Calculer la dérivée directionnelle : D_v f = (1, 0) ⋅ (1/√2, 1/√2) = 1/√2

Résultat de la dérivée directionnelle

  • Dérivée directionnelle : 1/√2

Graphique du comportement le long du vecteur

  • Le graphique montre le comportement de la fonction le long du vecteur directionnel à partir du point donné.

Avantages pour l'apprentissage et la vérification

  • Efficacité : Automatise la différentiation manuelle et les évaluations fastidieuses.
  • Clarté : Explique le processus étape par étape, idéal pour l'apprentissage ou la vérification.
  • Polyvalence : Gère des fonctions à deux ou trois variables et calcule des dérivées dans n'importe quelle direction.

Quand Utiliser un Calculateur de Dérivée Directionnelle

  • Mathématiques et Physique : Analyser les gradients et les taux de changement dans des fonctions multivariables.
  • Apprentissage Automatique et IA : Évaluer le comportement des fonctions de coût le long des directions de gradient.
  • Ingénierie et Optimisation : Évaluer les changements dans les fonctions soumises à des contraintes ou des directions spécifiques.

Sortie Graphique

  • Un graphique est généré pour montrer le comportement de la fonction le long du vecteur directionnel.
  • L'axe des x représente t, la distance le long du vecteur directionnel.
  • L'axe des y représente f(t), la valeur de la fonction le long de cette distance.