Calculateur d'intégrales triples

Catégorie : Calcul

- 29 juin 2025

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Calculez et visualisez des intégrales triples sur diverses régions dans l'espace 3D. Cette calculatrice aide à définir les bornes d'intégration, à visualiser la région et à calculer le résultat.

Configuration de l'Intégrale

Système de Coordonnées :

Cartésien (x,y,z)

Cylindrique (r,θ,z)

Sphérique (ρ,θ,φ)

Fonction Intégrande :

Utilisez x, y, z pour Cartésien ; r, theta, z pour Cylindrique ; rho, theta, phi pour Sphérique

Bornes d'Intégration (Cartésien)

x :

y :

z :

Région Actuelle :

Hémisphère supérieur de rayon 1, centré à l'origine

Options

Afficher la solution étape par étape

Afficher la visualisation 3D

Calculer le résultat numérique

Substituer des valeurs dans les étapes

Régions Prédéfinies

Résultat de l'Intégrale

∭(x² + y² + z²) dxdydz

Intégrale Triple Évaluée

2π/5

Environ 1.2566

Solution Étape par Étape

Visualisation de la Région en 3D

Transformation du Système de Coordonnées

Coordonnées Cartésiennes (x, y, z)

x = x

y = y

z = z

Élément de Volume : dx dy dz

Coordonnées Cylindriques (r, θ, z)

x = r cos(θ)

y = r sin(θ)

z = z

Élément de Volume : r dr dθ dz

Coordonnées Sphériques (ρ, θ, φ)

x = ρ sin(φ) cos(θ)

y = ρ sin(φ) sin(θ)

z = ρ cos(φ)

Élément de Volume : ρ² sin(φ) dρ dθ dφ

Intégrales Triples Courantes

Volume de la Sphère Unitaire

∭ dx dy dz = 4π/3

Région : x² + y² + z² ≤ 1

Volume du Cube Unitaire

∭ dx dy dz = 1

Région : 0 ≤ x,y,z ≤ 1

Volume du Cylindre

∭ dx dy dz = πh

Région : x² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ h

Moment d'Inertie (Sphère)

∭ (x² + y² + z²) dx dy dz = 4π/5

Région : x² + y² + z² ≤ 1

Comprendre les Intégrales Triples

Une intégrale triple représente l'intégrale de volume d'une fonction sur une région dans l'espace tridimensionnel. Elle étend le concept d'intégrales simples et doubles à trois dimensions.

Définition

L'intégrale triple d'une fonction f(x,y,z) sur une région V dans l'espace tridimensionnel est définie comme :

∭_V f(x,y,z) dV

Cela représente la somme des valeurs de f à travers la région V, pondérée par l'élément de volume dV.

Différents Systèmes de Coordonnées

Les intégrales triples peuvent être évaluées dans différents systèmes de coordonnées :

Cartésien : ∭ f(x,y,z) dx dy dz

Cylindrique : ∭ f(r,θ,z) r dr dθ dz

Sphérique : ∭ f(ρ,θ,φ) ρ² sin(φ) dρ dθ dφ

Le choix du système de coordonnées doit correspondre à la symétrie du problème pour simplifier les calculs.

Applications

Les intégrales triples ont de nombreuses applications pratiques, notamment :

Calculer les volumes de formes 3D complexes
Déterminer le centre de masse d'un objet solide
Calculer les moments d'inertie en physique
Déterminer le potentiel électrique ou gravitationnel total dans une région
Résoudre des problèmes en dynamique des fluides et en électromagnétisme

Avertissement : Cette calculatrice fournit des approximations à des fins éducatives. Pour des applications critiques nécessitant une haute précision, vérifiez les résultats avec un logiciel mathématique spécialisé ou consultez un mathématicien professionnel.

Qu'est-ce qu'un calculateur d'intégrales triples ?

Le calculateur d'intégrales triples est un outil en ligne convivial qui vous aide à évaluer et à comprendre les intégrales triples — une méthode de calcul du volume sous une surface dans un espace tridimensionnel. Que vous travailliez avec des coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques, ce calculateur vous permet de définir la fonction à intégrer, d'entrer les bornes d'intégration et de recevoir à la fois des solutions symboliques et numériques, avec des conseils étape par étape en option et des visualisations 3D.

∭_V f(x, y, z) dV = ∫∫∫ f(x, y, z) dz dy dx

Pourquoi utiliser cet outil ?

Ce calculateur est utile pour les étudiants, les éducateurs et les professionnels qui ont besoin de :

Trouver le volume d'une région dans l'espace 3D
Calculer des intégrales dans différents systèmes de coordonnées
Comprendre comment les bornes d'intégration se rapportent aux formes géométriques
Obtenir une décomposition étape par étape du processus d'intégration
Visualiser des régions en 3D pour développer une intuition pour le calcul multivariable

Comment utiliser le calculateur

Sélectionnez un système de coordonnées : Choisissez entre cartésien (x, y, z), cylindrique (r, θ, z) ou sphérique (ρ, θ, φ) en fonction de la forme de la région.
Entrez la fonction à intégrer : Par exemple, x^2 + y^2 + z^2 en coordonnées cartésiennes.
Spécifiez les bornes d'intégration : Entrez les limites inférieure et supérieure pour chaque variable. Vous pouvez également utiliser des formes prédéfinies comme la sphère unité ou le cylindre.
Choisissez des options : Activez ou désactivez l'affichage des solutions étape par étape, des résultats numériques ou des visualisations.
Cliquez sur "Calculer l'intégrale" : Consultez le résultat, voyez une décomposition de chaque étape d'intégration et interagissez avec la visualisation 3D si elle est activée.

Caractéristiques clés

Prend en charge les coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques
Fournit des résultats symboliques et numériques
Inclut des régions prédéfinies pour des formes courantes
Visualise des régions en 3D avec rotation et zoom
Décompose chaque étape de l'intégration pour l'apprentissage

Utile pour apprendre des sujets connexes

Les intégrales triples apparaissent souvent aux côtés d'autres sujets de calcul multivariable. Ce calculateur complète des outils tels que :

Calculateur de dérivées partielles : Explorez comment les fonctions changent le long de variables spécifiques en utilisant des dérivées partielles ou un solveur de dérivées multivariables.
Calculateur d'antidérivées : Calculez des intégrales indéfinies et résolvez des problèmes d'intégration étape par étape.
Calculateur d'intégrales : Résolvez des intégrales définies ou indéfinies à une variable pour une pratique fondamentale.
Calculateur de dérivée directionnelle : Comprenez les gradients et comment une fonction change dans des directions spécifiques.
Calculateur de plan tangent : Trouvez des plans qui approchent le mieux une surface à un point en utilisant l'analyse différentielle.

Questions Fréquemment Posées (FAQ)

À quoi sert une intégrale triple ?

Une intégrale triple est couramment utilisée pour calculer des volumes, des masses et d'autres quantités sur une région tridimensionnelle. C'est un concept clé en physique, en ingénierie et en calcul multivariable.

Quel système de coordonnées devrais-je choisir ?

Utilisez celui qui correspond à la symétrie de votre région :

Cartésien – pour des cubes, des boîtes et des solides rectangulaires
Cylindrique – pour des cylindres et des formes circulaires
Sphérique – pour des sphères, des hémisphères et une symétrie radiale

Ce calculateur peut-il montrer les étapes ?

Oui. Vous pouvez activer l'option "Afficher la solution étape par étape" pour voir l'intégrale résolue par étapes, ce qui est idéal pour apprendre et vérifier votre travail.

Que faire si je veux seulement un résultat numérique ?

Activez "Calculer le résultat numérique" pour obtenir une valeur décimale approximative. Cela est utile lorsque l'intégration symbolique est trop complexe.

Est-ce adapté à une utilisation en classe ?

Absolument. Ce calculateur est idéal pour les étudiants et les éducateurs pour pratiquer des problèmes, vérifier des devoirs ou l'utiliser lors de sessions d'étude.

Comment ce calculateur aide

Que vous essayiez de calculer des volumes, d'analyser des systèmes physiques ou d'approfondir votre compréhension du calcul, le calculateur d'intégrales triples fournit des informations claires et exploitables. C'est un outil pratique pour le calcul multivariable qui fonctionne parfaitement avec d'autres concepts comme les dérivées partielles, les techniques d'intégration et l'analyse vectorielle.