Calculateur de séries de Fourier

Catégorie : Calcul

- 30 juillet 2025

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Calculez et visualisez les développements en série de Fourier pour diverses fonctions. Ce calculateur aide les étudiants, les ingénieurs et les scientifiques à comprendre comment les fonctions périodiques peuvent être représentées comme une somme de sinusoïdes.

Calculateur de Série de Fourier

f(x) = a₀/2 + ∑ [a_ncos(nx) + b_nsin(nx)]

où n = 1, 2, 3, ..., N (nombre de termes)

Sélectionner la Fonction

Type de Fonction :

Amplitude :

Amplitude de la fonction

Période :

Période de la fonction

Paramètres de la Série de Fourier

Nombre de Termes (N) :

Un nombre plus élevé = meilleure approximation, calcul plus lent

Précision des Coefficients :

Nombre de décimales dans les coefficients

Méthode de Calcul :

Analytique est plus rapide mais uniquement disponible pour les fonctions prédéfinies

Afficher les coefficients de Fourier

Afficher la formule développée

Paramètres du Graphique

Plage X :

Min

Max

Afficher la fonction originale

Afficher l'approximation de Fourier

Afficher l'erreur

Comprendre les Séries de Fourier

Les séries de Fourier nous permettent de représenter des fonctions périodiques comme une somme infinie de sinus et de cosinus. Cet outil mathématique puissant est essentiel dans des domaines allant du traitement du signal et de l'analyse des vibrations à la mécanique quantique et au transfert de chaleur.

Définition Mathématique

Pour une fonction f(x) avec une période de 2π, la série de Fourier est définie comme :

f(x) = a₀/2 + ∑_n=1^∞ [a_ncos(nx) + b_nsin(nx)]

Où les coefficients sont calculés par :

a₀ = (1/π) ∫_-π^π f(x) dx

a_n = (1/π) ∫_-π^π f(x)cos(nx) dx

b_n = (1/π) ∫_-π^π f(x)sin(nx) dx

Phénomène de Gibbs

Lors de l'approximation de fonctions avec des discontinuités (comme les ondes carrées), vous pouvez remarquer un dépassement près du saut. Cela s'appelle le phénomène de Gibbs et ne peut pas être éliminé en ajoutant plus de termes, bien qu'il puisse être réduit par des techniques comme le fenêtrage.

Applications

Traitement du Signal : Analyse des composants de fréquence des signaux
Acoustique : Décomposition des sons complexes en fréquences fondamentales
Analyse de Circuit : Comprendre comment les circuits réagissent aux entrées non sinusoïdales
Transfert de Chaleur : Résoudre des équations différentielles partielles dans des problèmes de diffusion de chaleur
Mécanique Quantique : Représenter des fonctions d'onde et des états d'énergie

Avertissement : Ce calculateur fournit des approximations numériques des séries de Fourier. Pour les fonctions discontinues, l'approximation présente le phénomène de Gibbs près des discontinuités. Les résultats sont les plus précis lorsque vous utilisez un nombre plus élevé de termes.

Formule de la série de Fourier :
\( f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)] \)

Qu'est-ce que le calculateur de séries de Fourier ?

Le calculateur de séries de Fourier est un outil interactif qui vous aide à décomposer des fonctions périodiques en une somme de termes sinus et cosinus. Ce processus, connu sous le nom d'expansion en série de Fourier, est largement utilisé en mathématiques, en physique et en ingénierie pour analyser des signaux ou des motifs répétitifs.

Pourquoi utiliser cet outil ?

Comprendre la structure harmonique d'une fonction peut être précieux dans de nombreux contextes. Ce calculateur vous permet de :

Visualiser comment les ondes sinus et cosinus peuvent approcher des fonctions périodiques complexes
Explorer des formes d'onde classiques comme les ondes carrées, triangulaires et en dents de scie
Entrer vos propres fonctions personnalisées sur un intervalle spécifique
Ajuster des paramètres comme l'amplitude, le nombre de termes et la précision
Voir l'erreur entre l'approximation et la fonction réelle

Que vous appreniez le traitement du signal, résolviez des problèmes d'ingénierie ou révisiez des concepts en calcul, cet outil offre un retour d'information et des aperçus immédiats.

Comment utiliser le calculateur

Sélectionnez une fonction : Choisissez une forme d'onde prédéfinie ou entrez une fonction personnalisée de x sur l'intervalle \([-π, π]\).
Définissez l'amplitude et la période : Définissez la hauteur et le taux de répétition de votre forme d'onde.
Configurez les paramètres de la série : Choisissez le nombre de termes de Fourier et la précision des coefficients.
Choisissez la méthode de calcul : Utilisez le mode analytique pour des résultats plus rapides avec des fonctions intégrées ou l'intégration numérique pour des entrées personnalisées.
Ajustez la plage du graphique : Personnalisez la plage de l'axe x pour voir plusieurs cycles ou zoomer sur des zones spécifiques.
Cliquez sur “Calculer la série de Fourier” : Le calculateur générera des graphiques, affichera les coefficients et montrera éventuellement la courbe d'erreur.

Exemples de cas d'utilisation

Traitement du signal : Analysez des signaux sonores ou électriques en les décomposant en composants de fréquence.
Transfert de chaleur : Résolvez des équations différentielles en utilisant des séries de Fourier pour modéliser les variations de température.
Analyse des vibrations : Modélisez des systèmes mécaniques qui oscillent ou résonnent.
Approximation de fonction : Utilisez-le comme complément au Calculateur de séries de Taylor ou au Calculateur d'approximation quadratique pour explorer différentes techniques d'approximation.

FAQ

Qu'est-ce qu'une série de Fourier ?
C'est une représentation mathématique d'une fonction périodique comme une somme d'ondes sinus et cosinus.

Puis-je entrer ma propre fonction ?
Oui. Il suffit de sélectionner "Fonction personnalisée" et d'entrer une expression comme x^2, sin(x), ou toute combinaison de fonctions sur \([-π, π]\).

Que signifie le nombre de termes (N) ?
Il contrôle combien d'ondes sinus et cosinus sont utilisées dans l'approximation. Plus de termes donnent un meilleur ajustement mais peuvent prendre plus de temps à calculer.

Pourquoi vois-je un dépassement dans le graphique ?
C'est le phénomène de Gibbs—un effet inhérent dans les approximations de Fourier des fonctions discontinues.

Comment cet outil vous aide à apprendre et à analyser

Le calculateur de séries de Fourier est idéal pour les étudiants, les éducateurs et les professionnels. Il complète des outils comme le Calculateur de dérivées partielles, le Calculateur d'intégrales, et le Calculateur de dérivées secondes en offrant une vue visuelle et intuitive de la façon dont les fonctions se comportent au fil du temps.

Il est également utile lorsqu'il est associé à des solveurs pour les dérivées, les limites et les lignes tangentes. Si vous apprenez sur les dérivées partielles, les dérivées directionnelles, ou résolvez des équations différentielles, ce calculateur peut vous donner une autre façon de comprendre comment les fonctions changent et interagissent.

La capacité de calculer, de tracer et de comparer des approximations en un seul endroit fait de cet outil une aide précieuse pour l'apprentissage et la résolution de problèmes dans divers domaines mathématiques et d'ingénierie.