Calculateur de Plan Tangent

Calculateur de Plan Tangent : Objectif et Instructions

Qu'est-ce qu'un Plan Tangent ?

Un plan tangent est une surface plane qui "touche juste" une surface donnée à un point spécifique dans l'espace tridimensionnel. C'est une approximation de la surface près de ce point, utile en géométrie, en calcul et en ingénierie pour comprendre le comportement local. L'équation du plan tangent est dérivée en utilisant des dérivées partielles de l'équation de la surface et les coordonnées du point donné.

Par exemple, pour une surface ( f(x, y, z) = k ), le plan tangent à un point ( (x_0, y_0, z_0) ) est calculé en utilisant la formule suivante : [ \frac{\partial f}{\partial x}(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(y - y_0) + \frac{\partial f}{\partial z}(z - z_0) = 0 ]

Cette équation garantit que le plan est tangent à la surface au point spécifique.

Comment Utiliser le Calculateur de Plan Tangent

Le Calculateur de Plan Tangent simplifie le processus de recherche de l'équation du plan tangent à un point donné pour une surface ( f(x, y, z) = k ). Voici comment vous pouvez l'utiliser efficacement :

Étapes à Suivre :

1. Entrer la Fonction :

2. Entrez l'équation de la surface ( f(x, y, z) = k ) dans le champ de saisie. Par exemple : x^2 + y^2 + z^2 = 14.

3. Spécifier le Point :

4. Entrez les coordonnées du point ( (x_0, y_0, z_0) ) où vous souhaitez trouver le plan tangent. Exemple : ( (1, 3, 2) ).

5. Calculer :

6. Cliquez sur le bouton "Calculer". Le calculateur va :

   • Calculer les dérivées partielles de l'équation de la surface par rapport à ( x ), ( y ), et ( z ).
   • Substituer les dérivées et le point dans l'équation du plan tangent.

7. Voir la Solution :

8. Le calculateur affichera l'équation du plan tangent ainsi que les étapes détaillées du calcul.

9. Visualiser le Graphique :

10. Un graphique simplifié du plan tangent et sa relation avec la surface est affiché pour une meilleure compréhension.

11. Effacer les Saisies :

12. Cliquez sur "Tout Effacer" pour réinitialiser le calculateur à son exemple par défaut.

Caractéristiques Clés du Calculateur de Plan Tangent

• Interface Facile à Utiliser : Entrez votre équation de surface et les coordonnées du point dans une mise en page claire et intuitive.
• Étapes Détaillées : Suivez les étapes du calcul pour comprendre le processus.
• Visualisation Graphique : Visualisez une représentation 2D du plan tangent.
• Exemple Prérempli : Commencez avec un exemple préchargé pour des tests rapides.

FAQ

1. Quels types d'équations puis-je entrer ?

Vous pouvez entrer n'importe quelle équation de la forme ( f(x, y, z) = k ). Des exemples incluent : - ( x^2 + y^2 + z^2 = 14 ) - ( x^2 + y^2 - z = 10 )

2. Que se passe-t-il si je ne fournis pas une saisie valide ?

Le calculateur affichera un message d'erreur vous demandant d'entrer une équation et un point valides.

3. Quelle est la précision des calculs ?

Le calculateur utilise des bibliothèques avancées telles que Math.js pour calculer les dérivées partielles et évaluer les fonctions, garantissant une haute précision.

4. Puis-je l'utiliser pour des surfaces implicites ?

Oui, le calculateur est spécifiquement conçu pour gérer des surfaces implicites où ( f(x, y, z) = k ).

5. Puis-je réinitialiser le calculateur ?

Oui, en cliquant sur "Tout Effacer", les champs de saisie seront réinitialisés à leurs valeurs d'exemple par défaut.

Exemple de Démonstration

Supposons que l'équation de la surface soit ( x^2 + y^2 + z^2 = 14 ), et que le point soit ( (1, 3, 2) ).

1. Saisie :
2. Fonction : x^2 + y^2 + z^2 = 14

3. Point : ( (1, 3, 2) )

4. Dérivées Partielles :

5. ( \frac{\partial f}{\partial x} = 2x )
6. ( \frac{\partial f}{\partial y} = 2y )

7. ( \frac{\partial f}{\partial z} = 2z )

8. Substituer les Valeurs :

9. À ( (1, 3, 2) ) :

   • ( \frac{\partial f}{\partial x} = 2(1) = 2 )
   • ( \frac{\partial f}{\partial y} = 2(3) = 6 )
   • ( \frac{\partial f}{\partial z} = 2(2) = 4 )

10. Plan Tangent : [ 2(x - 1) + 6(y - 3) + 4(z - 2) = 0 ] Simplifier : [ 2x + 6y + 4z = 28 ]

Conclusion

Le Calculateur de Plan Tangent est un outil puissant pour calculer rapidement et avec précision les plans tangents pour des surfaces dans l'espace tridimensionnel. Avec son interface intuitive et ses sorties détaillées, il est parfait pour les étudiants, les ingénieurs et les chercheurs travaillant en calcul ou en géométrie 3D.