Calculateur de Divergence

Calculateur de Divergence : Explication et Guide d'Utilisation

Le Calculateur de Divergence est un outil interactif conçu pour calculer la divergence d'un champ vectoriel tridimensionnel. Il offre une manière intuitive de calculer et de visualiser la divergence d'un champ vectoriel ( \mathbf{F}(x, y, z) ), fournissant à la fois la représentation symbolique de la divergence et son évaluation à des points spécifiques. De plus, l'outil génère une visualisation graphique du champ vectoriel pour aider les utilisateurs à mieux comprendre son comportement.

Qu'est-ce que la Divergence ?

La Divergence est une quantité scalaire qui mesure le taux auquel un champ vectoriel se disperse ou converge à un point donné. Mathématiquement, la divergence d'un champ vectoriel ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ) est donnée par :

[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} ]

• Si la divergence est positive, le champ vectoriel est en train de se disperser à ce point.
• Si la divergence est négative, le champ vectoriel est en train de converger à ce point.
• Si la divergence est nulle, le champ est dit solénoïdal à ce point.

Ce calculateur fournit à la fois la divergence symbolique et une option pour l'évaluer numériquement à des points spécifiques.

Caractéristiques du Calculateur de Divergence

• Divergence Symbolique : Calcule automatiquement les dérivées partielles des composants du champ vectoriel et construit l'équation de divergence.
• Évaluation à un Point : Évalue la divergence numériquement à un point spécifique ( (x, y, z) ).
• Visualisation Graphique : Affiche une représentation 3D du champ vectoriel en utilisant les capacités de traçage 3D interactif de Plotly.
• Exemples dans un Menu Déroulant : Charge rapidement des exemples prédéfinis de champs vectoriels pour exploration.
• Gestion des Erreurs : Assure que les entrées invalides ou incomplètes sont traitées avec soin.

Comment Utiliser le Calculateur de Divergence

Suivez ces étapes simples pour utiliser le calculateur efficacement :

1. Saisir le Champ Vectoriel :
2. Entrez les composants ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ), et ( R(x, y, z) ) du champ vectoriel dans les cases de saisie respectives.

3. Par exemple :

   • ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
   • ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
   • ( R(x, y, z) = e^z )

4. Sélectionner un Exemple :

5. Utilisez le menu déroulant pour charger des exemples prédéfinis de champs vectoriels.

6. Spécifier un Point d'Évaluation (Optionnel) :

7. Si vous souhaitez évaluer la divergence à un point spécifique, entrez les valeurs de ( x ), ( y ), et ( z ) dans les champs correspondants.

8. Cliquez sur "Calculer" :

9. Le calculateur va :

   • Calculer la divergence symbolique.
   • Évaluer la divergence au point spécifié (si fourni).
   • Afficher une décomposition étape par étape du calcul.
   • Générer une visualisation 3D du champ vectoriel.

10. Effacer les Entrées :

11. Utilisez le bouton "Effacer" pour réinitialiser le calculateur.

Exemple de Démonstration

Exemple de Champ Vectoriel :

[ \mathbf{F}(x, y, z) = \sin(xy)\mathbf{i} + \cos(xy)\mathbf{j} + e^z\mathbf{k} ]

1. Entrez les composants :
2. ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
3. ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )

4. ( R(x, y, z) = e^z )

5. Cliquez sur "Calculer." Le calculateur va :

6. Calculer les dérivées partielles :
   • ( \frac{\partial P}{\partial x} = y\cos(xy) )
   • ( \frac{\partial Q}{\partial y} = -x\sin(xy) )
   • ( \frac{\partial R}{\partial z} = e^z )
7. Les combiner pour trouver : [ \text{div} \mathbf{F} = y\cos(xy) - x\sin(xy) + e^z ]

8. Si les points d'évaluation ( (x=1, y=1, z=0) ) sont fournis, le résultat sera évalué comme : [ \text{div} \mathbf{F}(1, 1, 0) = 1\cdot \cos(1) - 1\cdot \sin(1) + e^0 = \cos(1) - \sin(1) + 1 \approx 1.5403 ]

9. Visualisez le champ vectoriel 3D généré sur le graphique.

FAQ

1. Quels formats d'entrée sont pris en charge pour les composants du champ vectoriel ?

Le calculateur prend en charge des fonctions en termes de ( x ), ( y ), et ( z ). Les exemples incluent : - Fonctions polynomiales : ( x^2, y^2 + z ) - Fonctions trigonométriques : ( \sin(xy), \cos(z) ) - Fonctions exponentielles : ( e^z, x \cdot e^y )

2. Que se passe-t-il si je ne fournis pas de point d'évaluation ?

Si aucun point d'évaluation n'est spécifié, le calculateur affichera uniquement l'équation de divergence symbolique.

3. Puis-je utiliser ce calculateur pour des champs vectoriels 2D ?

Oui, il suffit de laisser le composant ( R(x, y, z) ) vide ou de le définir à zéro.

4. Comment la visualisation du champ vectoriel 3D est-elle générée ?

Le calculateur utilise Plotly pour créer un graphique interactif du champ vectoriel en 3D. Chaque flèche représente la direction et la magnitude du champ à un point donné.

5. Que faire si mon entrée contient une erreur ?

Le calculateur vérifie les erreurs telles que les composants manquants ou les expressions invalides. Un message d'erreur descriptif vous guidera pour corriger le problème.

Résumé

Le Calculateur de Divergence simplifie le processus d'analyse des champs vectoriels en automatisant le calcul de la divergence et en fournissant une représentation visuelle claire. Que vous soyez étudiant, enseignant ou professionnel, cet outil est parfait pour obtenir des informations sur le comportement des champs vectoriels dans l'espace 3D. Commencez à explorer maintenant pour débloquer tout le potentiel de ce puissant calculateur !