Calculateur de Dérivée Directionnelle

Qu'est-ce qu'une Dérivée Directionnelle ?

La dérivée directionnelle mesure comment une fonction change lorsque vous vous déplacez dans une direction spécifique à partir d'un point donné. Elle étend le concept de dérivées partielles en considérant une direction vectorielle plutôt qu'en se concentrant uniquement sur des variables individuelles comme x ou y.

• En termes simples, elle calcule le taux de changement d'une fonction f(x, y, z) à un point spécifique dans une direction spécifique.
• Elle est notée mathématiquement comme suit :

D_v f = ∇f ⋅ v̂

Ici : - ∇f est le vecteur gradient de la fonction, qui contient les dérivées partielles par rapport à toutes les variables. - v̂ est le vecteur directionnel normalisé (de longueur unitaire).

• Le résultat de la dérivée directionnelle est un nombre unique qui nous indique si la fonction augmente, diminue ou reste constante dans la direction donnée.

Caractéristiques Clés du Calculateur de Dérivée Directionnelle

• Entrée Dynamique : Entrez n'importe quelle fonction multivariable, un point d'évaluation et un vecteur directionnel.
• Explication Étape par Étape : Le calculateur fournit des étapes détaillées, montrant comment le gradient et la dérivée directionnelle sont calculés.
• Visualisation Graphique : Un graphique affiche le comportement de la fonction le long du vecteur directionnel.
• Exemples Intégrés : Testez rapidement l'outil avec des exemples fournis pour des fonctions courantes.

Comment Utiliser le Calculateur de Dérivée Directionnelle

Champs d'Entrée :

1. Entrez une Fonction : Spécifiez une fonction multivariable telle que x^2 + y^2 + z^2 ou sin(x) * cos(y).
2. Point d'Évaluation : Fournissez le point où la dérivée sera évaluée (par exemple, 1,1,1).
3. Vecteur Directionnel : Entrez le vecteur dans lequel calculer la dérivée (par exemple, 1,2,3).

Menu Déroulant d'Exemples :

• Sélectionnez un exemple prédéfini pour remplir automatiquement les champs :
• f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 à (1, 1, 1) dans la direction v = (1, 1, 1).
• f(x, y) = sin(x) * cos(y) à (0, 0) dans la direction v = (1, 1).
• f(x, y) = e^(x + y) à (1, 2) dans la direction v = (0, 1).

Boutons :

• Calculer : Effectuez le calcul et affichez les résultats, les étapes et un graphique.
• Effacer : Réinitialisez tous les champs d'entrée et les sorties.

Exemple Détaillé : f(x, y) = sin(x) * cos(y)

Entrée :

• Fonction : sin(x) * cos(y)
• Point : (0, 0)
• Vecteur Directionnel : (1, 1)

Calcul :

1. Calculer le vecteur gradient :
2. ∂f/∂x = cos(x) * cos(y)

3. ∂f/∂y = -sin(x) * sin(y)

4. Évaluer à (0, 0) :

5. ∂f/∂x(0, 0) = 1

6. ∂f/∂y(0, 0) = 0

7. Normaliser le vecteur directionnel (1, 1) :

8. Vecteur unitaire : v̂ = (1/√2, 1/√2)

9. Calculer la dérivée directionnelle : D_v f = (1, 0) ⋅ (1/√2, 1/√2) = 1/√2

Résultat :

• Dérivée directionnelle : 1/√2

Visualisation :

• Le graphique montre le comportement de la fonction le long du vecteur directionnel à partir du point donné.

Avantages d'Utiliser le Calculateur

• Efficacité : Automatise la différentiation manuelle et les évaluations fastidieuses.
• Clarté : Explique le processus étape par étape, idéal pour l'apprentissage ou la vérification.
• Polyvalence : Gère des fonctions à deux ou trois variables et calcule des dérivées dans n'importe quelle direction.

Quand Utiliser un Calculateur de Dérivée Directionnelle

• Mathématiques et Physique : Analyser les gradients et les taux de changement dans des fonctions multivariables.
• Apprentissage Automatique et IA : Évaluer le comportement des fonctions de coût le long des directions de gradient.
• Ingénierie et Optimisation : Évaluer les changements dans les fonctions soumises à des contraintes ou des directions spécifiques.

Sortie Graphique

• Un graphique est généré pour montrer le comportement de la fonction le long du vecteur directionnel.
• L'axe des x représente t, la distance le long du vecteur directionnel.
• L'axe des y représente f(t), la valeur de la fonction le long de cette distance.