Calculatrice de la Méthode Simplex

Qu'est-ce que la méthode du Simplex ?

La méthode du Simplex est un algorithme mathématique utilisé pour résoudre des problèmes de programmation linéaire. C'est une technique puissante pour optimiser une fonction objective linéaire sous un ensemble de contraintes d'inégalités ou d'égalités linéaires. La méthode trouve la solution optimale en itérant à travers des solutions réalisables aux sommets de la région réalisable jusqu'à ce que la meilleure valeur pour la fonction objective soit atteinte.

Les problèmes de programmation linéaire se posent souvent dans des scénarios réels tels que l'allocation des ressources, la planification de la production, le transport et la finance. La méthode du Simplex fournit une approche systématique pour résoudre ces problèmes de manière efficace.

Caractéristiques de la calculatrice de la méthode du Simplex

• Permet aux utilisateurs d'entrer une fonction objective linéaire (par exemple, 3x_1 + 4x_2).
• Prend en charge les contraintes d'inégalité et d'égalité avec des options pour ≤, = et ≥.
• Permet aux utilisateurs de choisir entre des objectifs de maximisation et de minimisation.
• Propose deux méthodes de solution : la méthode Big M et la méthode en deux phases.
• Affiche des calculs étape par étape, y compris des tableaux intermédiaires et le tableau final.
• Visualise la région réalisable et la solution optimale pour les problèmes en 2D.

Comment utiliser la calculatrice de la méthode du Simplex

1. Entrez la fonction objective dans le champ fourni (par exemple, 3x_1 + 4x_2).
2. Spécifiez si le problème est un problème de maximisation ou de minimisation en cochant ou décochant la case "Maximiser ?".
3. Entrez les contraintes sous forme d'inégalités ou d'égalités linéaires. Par exemple :
   • 2x_1 + x_2 ≤ 100
   • x_1 + 2x_2 = 80
   Utilisez le bouton "+ Ajouter une contrainte" pour ajouter des contraintes supplémentaires.
4. Choisissez la méthode de solution (méthode Big M ou méthode en deux phases) dans le menu déroulant.
5. Cliquez sur "Calculer" pour résoudre le problème. Les résultats, y compris la solution optimale, le tableau final et la visualisation, seront affichés.
6. Si vous souhaitez réinitialiser les champs et recommencer, cliquez sur le bouton "Effacer".

Exemple d'utilisation

Objectif : Maximiser \(3x_1 + 4x_2\)

Contraintes :

• \(2x_1 + x_2 ≤ 100\)
• \(x_1 + 2x_2 ≤ 80\)
• \(x_1, x_2 ≥ 0\)

Étapes :

• Convertir les inégalités en égalités en ajoutant des variables d'écart \(s_1\) et \(s_2\).
• Mettre en place le tableau simplex initial avec les coefficients des variables et des contraintes.
• Résoudre itérativement le tableau en pivotant jusqu'à ce que la solution optimale soit atteinte.
• La solution finale est affichée avec la valeur maximale de la fonction objective.

Résultat : \(x_1 = 20\), \(x_2 = 30\), et la valeur maximale est \(180\).

FAQs

• Qu'est-ce que la programmation linéaire ?
  La programmation linéaire est une méthode mathématique utilisée pour déterminer le meilleur résultat possible (comme un profit maximum ou un coût minimum) dans un modèle mathématique donné où les relations sont linéaires.
• Qu'est-ce que la méthode Big M et la méthode en deux phases ?
  La méthode Big M ajoute des variables artificielles avec de grandes pénalités (notées \(M\)) pour garantir la faisabilité, tandis que la méthode en deux phases résout le problème en deux étapes : d'abord en trouvant une solution réalisable, puis en optimisant la fonction objective.
• Que fait la case à cocher "maximiser" ?
  Cocher cette case résout le problème comme un problème de maximisation. Si elle n'est pas cochée, la calculatrice suppose un problème de minimisation.
• La calculatrice peut-elle gérer des problèmes non linéaires ?
  Non, la calculatrice est conçue spécifiquement pour des problèmes de programmation linéaire où la fonction objective et les contraintes sont linéaires.
• Que se passe-t-il si le problème est non borné ?
  Si la solution est non bornée, la calculatrice affichera un message indiquant que le problème n'a pas de solution optimale finie.

Avantages d'utiliser la calculatrice de la méthode du Simplex

• Économise du temps en automatisant des calculs manuels fastidieux.
• Fournit une décomposition étape par étape, ce qui en fait un outil d'apprentissage précieux pour les étudiants.
• Visualise les régions réalisables et les solutions pour une meilleure compréhension.
• Gère efficacement des problèmes complexes avec plusieurs contraintes et variables.