Calculateur SVD

Catégorie : Algèbre Linéaire
- 02 mai 2025
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Calculez la décomposition en valeurs singulières (SVD) d'une matrice. La SVD décompose une matrice en trois composants : U, Σ et V*. Cette décomposition a de nombreuses applications en statistiques, traitement du signal, compression d'image, et plus encore.

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À Propos de la Décomposition en Valeurs Singulières

La décomposition en valeurs singulières (SVD) est une technique de factorisation qui décompose une matrice A en trois matrices : U, Σ et V*. Elle a de larges applications en science des données, traitement du signal et algèbre linéaire.

Définition Mathématique

Pour une matrice A de taille m×n, la SVD est :

A = UΣV*

où :

  • U est une matrice orthogonale de taille m×m (U*U = I)
  • Σ est une matrice diagonale de taille m×n avec des valeurs singulières non négatives
  • V* est la transposée conjuguée d'une matrice orthogonale de taille n×n V (V*V = I)
Applications de la SVD
  • Réduction de Dimension : Analyse en Composantes Principales (ACP)
  • Compression d'Image : Réduction de l'espace de stockage tout en maintenant la qualité de l'image
  • Analyse de Données : Réduction du bruit et extraction de caractéristiques
  • Systèmes de Recommandation : Filtrage collaboratif pour des recommandations
  • Calcul de Pseudo-Inverse : Trouver des solutions à des systèmes mal conditionnés
  • Traitement du Signal : Filtrage et débruitage
Propriétés de la SVD
  • Les valeurs singulières sont uniques et arrangées par ordre décroissant
  • Le nombre de valeurs singulières non nulles est égal au rang de la matrice
  • Le nombre de condition est le rapport entre la plus grande et la plus petite valeur singulière
  • La SVD peut être utilisée pour calculer le pseudo-inverse via A⁺ = VΣ⁺U*
  • La SVD est numériquement stable pour le calcul

Formule de décomposition en valeurs singulières :

A = UΣV*

Où :

  • U = matrice des vecteurs singuliers à gauche
  • Σ = matrice diagonale des valeurs singulières
  • V* = transposée de la matrice des vecteurs singuliers à droite

Qu'est-ce que le calculateur SVD ?

Le calculateur de décomposition en valeurs singulières (SVD) est un outil en ligne qui décompose toute matrice en trois composants fondamentaux : U, Σ (Sigma) et V*. Ce processus est largement utilisé en algèbre linéaire pour des applications telles que la compression de données, le filtrage de signaux et la résolution de systèmes d'équations.

Avec le calculateur SVD, vous pouvez rapidement analyser la structure d'une matrice, comprendre ses propriétés dimensionnelles et calculer des valeurs clés comme le nombre de condition, le rang et la pseudoinverse.

Pourquoi utiliser ce calculateur ?

Cet outil vous aide à :

  • Décomposer une matrice en U, Σ et V* pour une analyse plus approfondie
  • Comprendre le comportement de votre matrice à travers ses valeurs singulières
  • Explorer des propriétés telles que le rang de la matrice, le nombre de condition et la norme de Frobenius
  • Vérifier l'exactitude de la décomposition
  • Calculer instantanément la pseudoinverse de Moore-Penrose

Si vous travaillez avec des données d'image, des statistiques ou la résolution de systèmes linéaires, ce calculateur vous fournit la décomposition dont vous avez besoin. Il complète d'autres outils comme le calculateur de décomposition LU, le calculateur de pseudoinverse et le calculateur d'inverse de matrice en se concentrant spécifiquement sur l'analyse des valeurs singulières.

Comment utiliser le calculateur SVD

Suivez ces étapes simples :

  1. Sélectionnez le nombre de lignes et de colonnes pour votre matrice.
  2. Cliquez sur “Créer Matrice” pour générer des champs de saisie.
  3. Entrez vos valeurs de matrice dans les champs.
  4. Choisissez des options d'affichage telles que la précision décimale et si vous souhaitez afficher des explications étape par étape.
  5. Cliquez sur “Calculer SVD” pour traiter la matrice.
  6. Examinez les matrices U, Σ et V* résultantes, ainsi que les valeurs dérivées comme la pseudoinverse et le nombre de condition.

Vous pouvez également charger une matrice d'exemple en utilisant le bouton “Charger Exemple” pour voir comment cela fonctionne instantanément.

Avantages de l'utilisation de SVD

La SVD est utilisée dans de nombreux domaines et présente des avantages pratiques :

  • Compression de données : Réduire la taille des données sans perdre de caractéristiques essentielles
  • Réduction du bruit : Éliminer les composants mineurs dans les signaux ou les ensembles de données
  • Apprentissage automatique : Améliorer les performances des algorithmes grâce à la réduction de dimensionnalité
  • Solutions matricielles : Calculer la pseudoinverse lorsque l'inverse normal n'existe pas
  • Traitement d'image : Compresser et reconstruire efficacement des images

Cet outil est particulièrement utile lorsqu'il est associé à des outils matriciels tels que le calculateur de factorisation QR, le calculateur d'élimination de Gauss-Jordan et le calculateur de diagonalisation de matrice.

Questions Fréquemment Posées (FAQ)

  • Quelle taille de matrice puis-je entrer ?
    Vous pouvez entrer des matrices de 1×1 à 10×10.
  • Que faire si ma matrice a des valeurs très petites ?
    Le calculateur met en évidence les valeurs proches de zéro pour vous aider à vous concentrer sur les résultats significatifs.
  • Puis-je voir comment la SVD est calculée ?
    Oui ! Activez l'option “Afficher l'explication” pour voir une décomposition étape par étape de la décomposition.
  • Cet outil est-il utile pour l'apprentissage ?
    Définitivement. La décomposition visuelle et les étapes de calcul en font un excellent outil d'apprentissage pour les étudiants et les éducateurs.
  • En quoi cela diffère-t-il des autres outils matriciels ?
    Alors que le calculateur d'inverse de matrice et la factorisation de matrice LU se concentrent sur des solutions directes aux systèmes linéaires, la SVD offre plus d'informations sur la structure et la stabilité de la matrice.

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