Calculateur de projection orthogonale

Catégorie : Algèbre Linéaire
- 16 septembre 2025
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Ce calculateur vous aide à calculer la projection orthogonale d'un vecteur sur un autre vecteur. Il calcule le vecteur de projection, la projection scalaire et les composants associés.

Entrées de Vecteur

x :
y :
z :
x :
y :
z :

Comprendre la Projection Orthogonale

La projection orthogonale est un concept fondamental en algèbre linéaire et en géométrie. Elle consiste à projeter un vecteur sur un autre, résultant en un nouveau vecteur qui représente le composant du premier vecteur dans la direction du second.

Concepts Clés
  • Projection de Vecteur : Le vecteur résultant de la projection du vecteur A sur le vecteur B
  • Projection Scalaire : La magnitude du vecteur de projection (une valeur scalaire)
  • Composant Parallèle : Le composant du vecteur A qui est parallèle au vecteur B
  • Composant Perpendiculaire : Le composant du vecteur A qui est perpendiculaire au vecteur B
Formule

La projection du vecteur A sur le vecteur B est donnée par :

projBA = (A·B / |B|²) × B

Où :

  • A·B est le produit scalaire des vecteurs A et B
  • |B| est la magnitude (longueur) du vecteur B
  • |B|² est le carré de la magnitude du vecteur B
Applications
  • Physique : Résoudre des forces en composants parallèles et perpendiculaires à une direction de référence
  • Graphismes Informatiques : Calculs d'ombre et recherche du point le plus proche sur une ligne
  • Apprentissage Automatique : Projection de caractéristiques et réduction de dimensionnalité
  • Ingénierie : Analyse des forces et des moments structurels

Avertissement : Ce calculateur fournit des résultats mathématiques basés sur les principes de l'algèbre vectorielle. Il est conçu à des fins éducatives et ne doit pas remplacer une analyse mathématique appropriée pour des applications critiques.

Calculateur de Projection Orthogonale : Objectif et Avantages

Le Calculateur de Projection Orthogonale est un outil visuel et interactif pour calculer la projection d'un vecteur sur un autre dans des espaces 2D et 3D. Cette opération est essentielle en mathématiques vectorielles, en particulier lors de l'analyse des composants de force, de direction ou de mouvement. Le calculateur est particulièrement utile dans les contextes éducatifs, d'ingénierie et de physique où la décomposition vectorielle est requise.

En entrant les composants de deux vecteurs—Vecteur A (celui qui est projeté) et Vecteur B (la cible)—l'outil calcule et affiche :

  • Vecteur de Projection : La représentation vectorielle de A projetée sur B
  • Projection Scalaire : La longueur de la projection
  • Composantes Parallèles et Perpendiculaires : Comprendre comment A se divise par rapport à B
  • Angle Entre les Vecteurs : Calculé en degrés pour une compréhension intuitive

Formule de Projection Orthogonale :

projBA = (A · B / |B|²) × B

Où :

  • A · B est le produit scalaire des vecteurs A et B
  • |B| est la magnitude du vecteur B
  • projBA est le vecteur de projection de A sur B

Comment Utiliser le Calculateur

  1. Sélectionnez la dimension du vecteur : choisissez entre l'espace 2D et 3D.
  2. Entrez les composants x, y (et éventuellement z) du Vecteur A et du Vecteur B.
  3. Cliquez sur le bouton Calculer la Projection pour voir les résultats.
  4. Examinez le graphique visuel et la décomposition étape par étape fournis sous la section d'entrée.
  5. Pour recommencer, appuyez sur le bouton Réinitialiser.

Pourquoi la Projection Orthogonale Est-Elle Importante

Les projections orthogonales sont utilisées dans divers domaines pour décomposer les vecteurs en parties compréhensibles :

  • Physique : Séparer les vecteurs de force en directions utiles
  • Graphismes Informatiques : Rendre des ombres et des projections
  • Ingénierie : Résoudre les charges dans l'analyse structurelle
  • Apprentissage Automatique : Réduire les dimensions des vecteurs pour plus d'efficacité

FAQ : Questions Fréquemment Posées

Q : Puis-je l'utiliser pour des vecteurs 3D ?
Oui. Il suffit de sélectionner "3D (x, y, z)" dans le menu de dimension pour activer les entrées de composant z.

Q : Que se passe-t-il si le Vecteur B est nul ?
L'outil vous alertera. La projection sur un vecteur nul est indéfinie et ne peut pas être calculée.

Q : Comment cela se compare-t-il à d'autres outils vectoriels ?
Ce calculateur complète d'autres outils comme le Calculateur d'Addition de Vecteurs, le Calculateur de Produit Scalaire, et le Calculateur de Vecteur Unitaire en se concentrant spécifiquement sur l'opération de projection. Il partage des principes fondamentaux avec des outils basés sur les matrices tels que le Calculateur de Factorisation QR et le Calculateur d'Inverse de Matrice, qui sont également basés sur la manipulation et la décomposition vectorielles.

Outils Connexes pour une Analyse Plus Approfondie

Une fois que vous êtes à l'aise avec les projections vectorielles, vous pourriez trouver ces outils utiles pour approfondir votre compréhension des opérations vectorielles et matricielles :

  • Calculateur de Factorisation QR : Comprendre la décomposition orthogonale-triangulaire
  • Calculateur de Décomposition LU : Apprendre les techniques de décomposition de matrices inférieures et supérieures
  • Calculateur de Diagonalisation de Matrice : Explorer les valeurs propres et les transformations diagonales
  • Calculateur d'Inverse de Matrice : Calculer l'inverse d'une matrice carrée
  • Calculateur de Pseudoinverse : Une alternative d'inversion de matrice pour les matrices non carrées

Que vous résolviez des systèmes linéaires, analysiez des forces ou vous prépariez pour des examens, ce Calculateur de Projection Orthogonale est une étape pratique et accessible pour comprendre le comportement et les interactions des vecteurs.